Seminar - Summen von Quadraten und K-Theorie (WS 13/14)

In diesem Seminar beschäftigen wir uns mit der Frage der Existenz von bestimmten Gleichungen von Quadratsummen und möchten dafür die Konstruktion und einige Eigenschaften der K-Theorie verstehen (siehe den Aushang).

Organisatorisches:

• Termin: Mittwochs 12-14 Uhr (c.t.)
• Raum: M101
• Informationen im Vorlesungsverzeichnis

Vorträge:

1. Hurwitz's Satz und die Geschichte des Quadratsummen-Problems (16.10. - Florian Strunk)
   Erklärung der Fragestellung, Geschichte, Beziehung mit Kompositionsalgebren [6, Kapitel 9.] und der Satz von Hurwitz,
   (Divisionsalgebren und der Satz von Milnor und Kervaire).
2. Quadratische Formen (23.10. - )
   Vergleich verschiedener Definitionen einer quadratischen Form [2, Theorem 1.1.] [10, Kapitel 5.4.], Äquivalenz quadratischer Formen [2],
   Bild einer quadratischen Form [2, Proposition 2.1.], Diagonalisierbarkeit quadratischer Formen [2, Theorem 5.1., Corollary 5.2.] [10, Kapitel 5.7.].
3. Projektive Moduln (30.10. - ) (pdf)
   Definitionen [1, Abschnitt I.2], Der Rang eines endlich erzeugten projektiven Moduls [1, Definition I.2.2.3.], Endlich erzeugte projektive
   Moduln sind lokal frei [1, I.2.4.], (Bass-Serre-Cancellation [1, I.2.3.]), (Milnor Patching [1, I.2.5.]), Eilenberg-Schwindel [1, I.2.8.].
4. Vektorbündel über einem topologischen Raum (06.11. - ) (pdf)
   Definition, Whitney-Summe, Schnitte [3, Abschnitt 1.1.], Tautologisches Bündel [3, Beispiel 1.1.5.], Tangentialbündel, Normalenbündel,
   Komplementäres Bündel [3, Proposition 1.1.4.], Cancellation.
5. Graßmann-Mannigfaltigkeiten und universelle Vektorbündel (13.11. - ) (pdf)
   Isomorphieklassen von Vektorbündeln [3, Abschnitt 1.2.], Vektorbündel über einem zusammenziehbaren Raum [3, Corollary 1.8.],
   Kupplungsfunktionen [3, Proposition 1.1.11.], Definition der Graßmann-Mannigfaltigkeit und universelles Bündel [3, Abschnitt 1.2., Theorem 1.1.16.].
6. K0 eines kommutativen Monoids (20.11. - )
   Gruppenvervollständigung [1. Abschnitt II.1.], Beispiele: Topologisches K0 [3. Abschnitt 2.], K0 eines Rings [1. Abschnitt II.2.].
7. K0 eines kommutativen Monoids II (27.11. - )
   Der Grothendieck-Witt Ring [2, Kapitel 9.1., Proposition 9.2., Corollary 9.3.], etc.
8. Operationen (04.12. - )
   Lambda Operationen [1, Abschnitt II.4.], Splitting Prinzip [1, II.4.2.2], Adams Operationen [1, Abschnitt II.4.], Gamma-Operationen [1, Abschnitt II.4.].
9. Seminar fällt aus. (11.12.)
   
10. Ausrechnung von K0 der projektiven Räume (18.12. - Florian Strunk)
    Hier gibt es mehrere Möglichkeiten, zum Beispiel [3, Proposition 2.24.] oder [8].
11. Beweis einer Einschränkung für die Existenz gewisser Quadratsummengleichungen (08.01. - Florian Strunk)
    Hier soll das Argument aus [4] mit topologischer statt algebraischer K-Theorie (einfacher) nachgemacht werden.
12. Algebraische Objekte statt topologischen Räumen I (15.01. - Florian Strunk)
    Ab diesem Vortrag soll auf die Definition der algebraischen K-Theorie (genauer gesagt: nur K0) hingearbeitet werden.
    Dafür werden in diesem Vortrag grundlegende Begriffe der algebraischen Geometrie eingeführt bzw. wiederholt und
    insbesondere auf die Beziehung mit topologischen Räumen eingegangen. Hierzu wird es eine schriftliche Zusammenfassung geben.
13. Algebraische Objekte statt topologischen Räumen II (22.01. - )
    Dies ist eine Fortsetzung des vorherigen Vortrags.
14. Détour: G0 und die Beziehung zu K0 (29.01. - ) (pdf)
    G-Theorie eines Ringes, A1-Invarianz von G0 und die Gleichheit G0=K0 für einen regulären Ring [1].
15. Détour: Milnor K-Theorie (05.02. - )
    Definition und Vorstellung von beispielsweise [9] oder [1, Abschnitt III.7.].

Literatur: